Hvordan beregne arealet til et parallellogram bygget på vektorer

På alle to ikke-kollinære og ikke-nollvektorer kan et parallellogram konstrueres. Disse to vektorene vil trekke seg sammen med et parallellogram hvis du kombinerer deres opprinnelse på et tidspunkt. Fullfør sidene av figuren.

Bruksanvisning

1

Finn lengden på vektorene hvis koordinatene deres er gitt. La for eksempel vektoren A ha koordinater (a1, a2) i planet. Da er lengden på vektoren A | A | = √ (a1² + a2²). Tilsvarende finner vi modulen til vektoren B: | B | = √ (b1² + b2²), hvor b1 og b2 er koordinatene til vektoren B på planet.

2

Parallellogramområdet er funnet med formelen S = | A | • | B | • sin (A ^ B), der A ^ B er vinkelen mellom de gitte vektorene A og B. Sinusen kan bli funnet gjennom kosinus ved bruk av den grunnleggende trigonometriske identiteten: sin²α + cos²α = 1. Kosinus kan uttrykkes i form av det skalære produktet av vektorer skrevet i koordinater.

3

Det skalære produktet av en vektor A med en vektor B er betegnet med (A, B). Per definisjon er den lik (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Og i koordinater er skalarproduktet skrevet slik: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Herfra kan vi uttrykke kosinus for vinkelen mellom vektorene: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). I telleren, skalarproduktet; i nevneren, lengden på vektorene.

4

Nå kan vi uttrykke sinusen fra den viktigste trigonometriske identiteten: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Hvis vi antar at vinkelen α mellom vektorene er skarp, kan minus med sinusen kastes, og bare etterlates plustegnet, siden sinussen til den akutte vinkelen bare kan være positiv (eller null ved null vinkel, men her er vinkelen ikke-null, vises dette i tilstanden ikke-kollinearitet av vektorer).

5

Nå må vi erstatte koordinatuttrykket for kosinus i sinusformelen. Etter dette gjenstår det bare å skrive resultatet i parallellogramområdet formel. Hvis alt dette er gjort og det numeriske uttrykket er forenklet, viser det seg at S = a1 • b2-a2 • b1. Dermed blir området til parallellogrammet konstruert på vektorene A (a1, a2) og B (b1, b2) funnet med formelen S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Det resulterende uttrykket er determinanten for matrisen sammensatt av koordinatene til vektorene A og B: a1 a2b1 b2.

7

For å oppnå en determinant for en matrise med dimensjon to, må vi faktisk multiplisere elementene i hoveddiagonalen (a1, b2) og trekke fra dette produktet av elementene i sidediagonalen (a2, b1).