Hvordan løse ligninger med røtter

Noen ganger i likningene er det et tegn på roten. Det synes for mange studenter at det er veldig vanskelig å løse slike ligninger “med røtter” eller, riktigere sagt, irrasjonelle ligninger, men dette er ikke slik.

Bruksanvisning

1

I motsetning til andre typer ligninger, for eksempel kvadratiske eller lineære ligningssystemer, er det ingen standardalgoritme for å løse ligninger med røtter, eller mer presist, irrasjonelle ligninger. I hvert enkelt tilfelle er det nødvendig å velge den mest passende løsningsmetoden basert på "utseendet" og egenskapene til ligningen.

Heving av deler av ligningen i samme grad.

Oftest, for å løse ligninger med røtter (irrasjonelle ligninger), blir heving av begge sider av ligningen brukt i samme grad. Som regel i en grad som tilsvarer rotens grad (kvadrat for kvadratrot, kube for kubikkrot). Det må huskes at når han løfter venstre og høyre side av ligningen til en jevn grad, kan han ha "ekstra" røtter. Derfor bør man i dette tilfellet sjekke de oppnådde røttene ved å erstatte dem i ligningen. Spesiell oppmerksomhet når det gjelder å løse ligninger med kvadratiske (jevnlige) røtter bør gis til området for tillatte verdier for variabelen (ODZ). Noen ganger er estimeringen av ODL alene nok til å løse eller betydelig forenkle ligningen.

Et eksempel. Løs ligningen:

√ (5x-16) = x-2

Vi firkanter begge sider av ligningen:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², hvorfra vi suksessivt får:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Å løse den oppnådde kvadratiske ligningen, finner vi dens røtter:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Ved å erstatte begge funnet røtter i den opprinnelige ligningen, oppnår vi riktig likhet. Derfor er begge tallene løsninger for ligningen.

2

Metode for å introdusere en ny variabel.

Noen ganger er det mer praktisk å finne røttene til en "ligning med røtter" (en irrasjonell ligning) ved å introdusere nye variabler. Faktisk er essensen av denne metoden ganske enkelt redusert til en mer kompakt oversikt over løsningen, dvs. i stedet for å skrive et klumpete uttrykk hver gang, erstattes det av en legende.

Et eksempel. Løs likningen: 2x + √x-3 = 0

Du kan løse denne ligningen ved å kvadratere begge sider. Beregningene i seg selv vil imidlertid se ganske tungvint ut. Med introduksjonen av en ny variabel vil beslutningsprosessen vise seg å være mye mer elegant:

Vi introduserer en ny variabel: y = √ x

Så får vi den ordinære kvadratiske ligningen:

2y² + y-3 = 0, med variabel y.

Å løse den resulterende ligningen, finner vi to røtter:

y1 = 1 og y2 = -3 / 2, ved å erstatte de funnet røttene i uttrykket med den nye variabelen (y), får vi:

√ x = 1 og √ x = -3 / 2.

Siden kvadratrotverdien ikke kan være et negativt tall (hvis du ikke berører området med komplekse tall), får vi den eneste løsningen:

x = 1.

kvadratrot løsning