Hvordan løse ligningssystemer

Det er ikke vanskelig å løse ligningssystemet ved å bruke de grunnleggende metodene for å løse systemer med lineære ligninger: substitusjonsmetoden og addisjonsmetoden.

Bruksanvisning

1

La oss vurdere metoder for å løse et system med ligninger ved å bruke et eksempel på et system med to lineære ligninger som har to ukjente verdier. Generelt sett er et slikt system skrevet som følger (til venstre kombineres likningene med en krøllete brakett):

øks + b = c

dx + ey = f, hvor

a, b, c, d, e, f er koeffisientene (spesifikke tall), og x og y er som vanlig ukjente. Tallene a, b, c, d kalles koeffisientene for ukjente, og c og f kalles frie vilkår. Løsningen på et slikt ligningssystem finnes ved to hovedmetoder.

Løsningen av ligningssystemet ved substitusjonsmetoden.

1. Vi tar den første ligningen og uttrykker en av de ukjente (x) når det gjelder koeffisientene og den andre ukjente (y):

x = (s-by) / a

2. Bytt ut uttrykket oppnådd for x i den andre ligningen:

d (c-by) / a + ey = f

3. Å løse den resulterende ligningen, finner vi uttrykket for y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Sett inn det resulterende uttrykket for y i uttrykket for x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Eksempel: du må løse et system med ligninger:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Finn verdien av x fra den første ligningen:

x = (2y + 4) / 3

Bytt ut det resulterende uttrykket i den andre ligningen og få en ligning med en variabel (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, hvorfra vi får:

y = 1

Nå erstatter vi den funnet verdien av y i uttrykket for variabelen x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Svar: x = 2, y = 1.

2

Løsningen av ligningssystemet ved tilsetningsmetode (subtraksjon).

Denne metoden reduserer til å multiplisere begge sider av ligningene med tall (parametere) slik at som et resultat koeffisientene til en av variablene sammenfaller (muligens med det motsatte tegnet).

Generelt sett må begge sider av den første ligningen multipliseres med (-d), og begge sider av den andre ligningen med a. Som et resultat får vi:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Ved å legge de resulterende ligningene, får vi:

-bdu + aeu = -cd + af, hvorfra vi får uttrykket for variabelen y:

y = (af-cd) / (ae-bd), ved å erstatte uttrykket for y i en hvilken som helst ligning av systemet, får vi:

øks + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

fra denne ligningen finner vi den andre ukjente:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Et eksempel. Løs likningssystemet ved å legge til eller trekke fra:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Multipliser den første ligningen med (-1) og den andre med 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Ved å legge til (termin for termin) begge ligningene, får vi:

11 år = 11

Hvor får vi:

y = 1

Vi erstatter den oppnådde verdien for y i noen av ligningene, for eksempel inn i den andre, vi får:

3x + 9 = 15, hvorfra

x = 2

Svar: x = 2, y = 1.