Hvordan finne området til et sirkulært segment

Et av de vanlige geometriske problemene er å beregne arealet til et sirkulært segment - delen av en sirkel avgrenset av et akkord og den tilhørende akkorden til en bue av en sirkel.

Arealet av det sirkulære segmentet er lik forskjellen i området for den tilsvarende sirkulære sektoren og området av trekanten dannet av radiene til det tilsvarende segmentet av sektoren og akkorden som begrenser segmentet.

Eksempel 1

Lengden på akkorden som trekker seg inn i en sirkel er lik verdien av a. Gradens mål på buen som tilsvarer akkorden er 60 °. Finn området til det sirkulære segmentet.

beslutning

En trekant som er dannet av to radier og et akkord, er ensartede, så høyden trukket fra toppen av den sentrale vinkelen til siden av trekanten som er dannet av akkorden vil også være halvparten av den sentrale vinkelen, halvere den og medianen, halvere akkorden. Når vi vet at sinus av vinkelen i en rettvinklet trekant er lik forholdet på motsatt side til hypotenusen, kan vi beregne radius:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Arealet av sektoren som tilsvarer en gitt vinkel, kan beregnes med følgende formel:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Arealet av trekanten som tilsvarer sektoren beregnes som følger:

S ▲ = 1/2 * ah, hvor h er høyden trukket fra toppen av den sentrale vinkelen til akkorden. Ved den pytagoreiske teorem, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Følgelig er S ▲ = √3 / 4 * a².

Arealet av segmentet, beregnet som Sseg = Sc - S ▲, er lik:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Ved å erstatte en numerisk verdi i stedet for a, kan du enkelt beregne den numeriske verdien av segmentområdet.

Eksempel 2

Sirkelens radius er lik a. Gradens mål på buen som tilsvarer segmentet er 60 °. Finn området til det sirkulære segmentet.